Des mathématiques pour les sciences
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences soucieux de comprendre les mathématiques indispensables à toute modélisation, et d'apprendre à manier les concepts et à utiliser... Voir la suite
Description
Véritable ouvrage compagnon, Des mathématiques pour les sciences guidera l'étudiant en sciences tout au long de son cycle d'études, depuis la 2e année de Licence (L2) jusqu'au Master, partant de connaissances post-baccalauréat pour aller jusqu'à des sujets avancés sur les plans technique et conceptuel.
L'objectif principal de cet ouvrage est de faire comprendre et d'apprendre à manipuler le formalisme essentiel à la pratique de la science. D'une part, il présente les mathématiques indispensables à toute forme de modélisation ; d'autre part, il permet l'assimilation des concepts conduisant à la maîtrise de techniques de calcul efficaces. L'accent porte sur le noyau dur que constitue l'analyse complexe sur laquelle sont construites les sciences exactes et, plus généralement, toute science qui vise à la modélisation de mécanismes quelle qu'en soit la nature.
L'exposé formel est illustré par de nombreux exemples détaillés inspirés par des problèmes universels que l'on rencontre dans divers champs disciplinaires, tels la physique, la chimie, la mécanique ou encore la modélisation en économie. Des sujets très variés sont traités : algèbre linéaire, fonctions spéciales, transformations intégrales, distributions, équations différentielles et aux dérivées partielles, théorie des probabilités, théorie des groupes et introduction aux systèmes non-linéaires. Sont également abordés des thèmes ayant donné lieu ces dernières décennies à des avancées conceptuelles et méthodologiques majeures, comme la renormalisation et l'étude du chaos.
Les « plus »
Exposé concret et illustréNombreuses applications et exercices corrigésDémarche fondée sur l'intuitionVéritable vademecum de l'étudiantMultiples références aux ouvrages classiques et à des articles historiques ou récentsSommaire
1. Algèbre linéaire
1.1 Stucture d'espace vectoriel
1.2 Indépendance linéaire. Base d'un espace vectoriel
1.3 Produit scalaire
1.4 Opérateurs linéaires
1.5 Diagonalisation. Valeurs et vecteur propres
1.6 Espace dual
1.7 Notation de Dirac
1.8 Matrices continues (noyaux). Equations intégrales linéaires
1.9 Notions sur les tenseurs
1.10 Exercices et problèmes
2. Rappels d'Analyse réelle
2.1 Limite d'une fonction
2.2 Suites
2.3 Intégrales
2.4 Séries
2.5 Produits infinis
2.6 Exercices et problèmes
3. Fonction d'une variable complexe
3.1 Nombres complexes. Opérations élémentaires
3.2 Quelques éléments de topologie de C
3.3 Fonction d'une variable complexe
3.4 Fonctions élémentaires
3.5 Exercices et problèmes
4. Intégration des fonctions d'une variable complexe
4.1 Préliminaires
4.2 Théorème de Cauchy (1825) et premières conséquences
4.3 Généralisation au cas d'un domaine multiplement connexe
4.4 Formule de Cauchy
4.5 Dérivées d'ordre supérieur
4.6 Fonctions définies par une intégrale
4.7 Illustrations
4.8 Exercices et problèmes
5. Représentation des fonctions analytiques par des séries. Théorème des résidus
5.1 Séries de Taylor
5.2 Compléments sur les séries entières
5.3 Série de Laurent
5.4 Classification des singularités d'une fonction
5.5 Théorème des résidus
5.6 Prolongement analytique
5.7 Fonctions multiformes. Coupures. Notion de surface de Riemann
5.8 Exercices et problèmes
6. Applications élémentaires du théorème des résidus
6.1 Lemmes de Jordan
6.2 Calcul d'intégrales définies
6.3 Calcul d'intégrales de fonctions multiformes
6.4 Calcul d'intégrales impropres
6.5 Calcul de la somme de séries
6.6 Calcul de sommes finies
6.7 Quelques compléments sur les fonctions méromorphes
6.8 Représentation des fonctions méromorphes et des fonctions entières
6.9 Exercices et problèmes
7. Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe
7.1 Les fonction d'Euler
7.2 La fonction u/ (z) d'Euler
7.3 La fonction G/ (z) d'Euler
7.4 Développements asymptotiques
7.5 Méthode du col
7.6 De l'importance des singularités apparement innocentes
7.7 Un exercice de synthèse
7.8 Transformations conformes
7.9 Exercices et problèmes
8. Analyse de Fourier
8.1 Séries de Fourier
8.2 Transformation de Fourier
8.3 Propriétés asymptotiques
8.4 Généralisation en dimension quelconque
8.5 Causalité et analycité
8.6 Relations de Kramers-Kronig
8.7 Exercices et problèmes
9. Transformation de Laplace
9.1 Présentation
9.2 Définition et formule d'inversion
9.3 Propriétés de la transformation de Laplace
9.4 Propriétés asymptotiques
9.5 Quelques applications de la transformation de Laplace
9.6 Exercices et problèmes
10. Introduction aux fonctions généralisées (distributions)
10.1 Présentation intuitive
10.2 Les distributions en tant que fonctionnelles linéaires
10.3 Série de Fourier des distributions
10.4 Transformées de Fourier des distributions
10.5 Illustrations et exemples physiques
10.6 Extensions
10.7 Exercices et problèmes
11. Equations différentielles. Introduction aux fonctions de Green
11.1 Pertinence des équations différentielles pour la modélisation avec des variables continues
11.2 Généralités et définitions
11.3 Classification des équations différentielles
11.4 Importance des conditions auxiliaires
11.5 Equations linéaires
11.6 Equations non-linéaires
11.7 Systèmes différentiels
11.8 Equations différentielles et équations aux différences
11.9 Fonctions de Green
11.10 Exercices et problèmes
12. Equations aux dérivés partielles
12.1 Introduction intuitive d'un champ continu et de son équation dynamique : la chaîne de boules et de ressorts
12.2 Conditions auxiliaires pour une équation aux dérivées partielles. Classification
12.3 Méthodes analytiques de résolution
12.4 Equations linéaires du second ordre
12.5 Equations non-linéaires
12.6 Exercices et problèmes
13. Fonctions spéciales
13.1 Polynômes orthogonaux
13.2 Fonctions hypergéométriques
13.3 Fonctions de Bessel
13.4 Fonction Vx (z, q)
13.5 Intégrales elliptiques
13.6 Exercices et problèmes
14. Théorie des probabilités et applications
14.1 Notion de variable aléatoire
14.2 Notion de probabilité
14.3 Axiomes. Premières conséquences
14.4 Sur l'intégrale de Lebesgue
14.5 Fonction de répartition
14.6 Espérances mathématiques (moyennes)
14.7 Lois de distribution courantes
14.8 Fonction caractéristique
14.9 Fonction d'une variable aléatoire
14.10 Lois-limites. Théorème limite central
14.11 Exercices et problèmes
15. Introduction à la théorie des groupes et à leurs représentations
15.1 Qu'est-ce qu'un groupe?
15.2 Applications entre deux groupes
15.3 Représentations d'un groupe
15.4 Conséquences de la symétrie sur la structure algébrique d'un système
15.5 Projecteurs de symétrie
15.6 Groupe symétrique Sn
15.7 Groupe des rotations
15.8 Exercices et problèmes
16. Eléments de dynamique des systèmes non-linéaires
16.1 Richesse et spécificités des systèmes non-linéaires
16.2 Analyse de stabilité linéaire
16.3 Portrait de phase
16.4 Systèmes autonomes du premier ordre
16.5 Exemples de systèmes à deux variables
16.6 Variables discrètes. Applications récursives (itérations)
16.7 Exercices et problèmes
Bibliographie
Index
Fiche technique
Titre | Des mathématiques pour les sciences |
---|---|
Edition | 1re édition |
Date de parution | septembre 2011 |
Nombre de pages | 1252 pages |
Dimensions | 240 × 171 mm |
Poids | 1914 g |
ISBN-13 | 9782804166175 |
---|---|
Type | Livre |
Format | Broché |
Collection | LMD Maths |
Domaine(s) | Mathématiques |
Niveaux | Universitaire |