Des mathématiques pour les sciences

1. Algèbre linéaire

   1.1 Stucture d'espace vectoriel

   1.2 Indépendance linéaire. Base d'un espace vectoriel

   1.3 Produit scalaire

   1.4 Opérateurs linéaires

   1.5 Diagonalisation. Valeurs et vecteur propres

   1.6 Espace dual

   1.7 Notation de Dirac

   1.8 Matrices continues (noyaux). Equations intégrales linéaires

   1.9 Notions sur les tenseurs

   1.10 Exercices et problèmes

2. Rappels d'Analyse réelle

   2.1 Limite d'une fonction

   2.2 Suites

   2.3 Intégrales

   2.4 Séries

   2.5 Produits infinis

   2.6 Exercices et problèmes

3. Fonction d'une variable complexe

   3.1 Nombres complexes. Opérations élémentaires

   3.2 Quelques éléments de topologie de C

   3.3 Fonction d'une variable complexe

   3.4 Fonctions élémentaires

   3.5 Exercices et problèmes

4. Intégration des fonctions d'une variable complexe

   4.1 Préliminaires

   4.2 Théorème de Cauchy (1825) et premières conséquences

   4.3 Généralisation au cas d'un domaine multiplement connexe

   4.4 Formule de Cauchy

   4.5 Dérivées d'ordre supérieur

   4.6 Fonctions définies par une intégrale

   4.7 Illustrations

   4.8 Exercices et problèmes

5. Représentation des fonctions analytiques par des séries. Théorème des résidus

   5.1 Séries de Taylor

   5.2 Compléments sur les séries entières

   5.3 Série de Laurent

   5.4 Classification des singularités d'une fonction

   5.5 Théorème des résidus

   5.6 Prolongement analytique

   5.7 Fonctions multiformes. Coupures. Notion de surface de Riemann

   5.8 Exercices et problèmes

6. Applications élémentaires du théorème des résidus

   6.1 Lemmes de Jordan

   6.2 Calcul d'intégrales définies

   6.3 Calcul d'intégrales de fonctions multiformes

   6.4 Calcul d'intégrales impropres

   6.5 Calcul de la somme de séries

   6.6 Calcul de sommes finies

   6.7 Quelques compléments sur les fonctions méromorphes

   6.8 Représentation des fonctions méromorphes et des fonctions entières

   6.9 Exercices et problèmes

7. Quelques applications de la théorie des fonctions d'une variable complexe

   7.1 Les fonction d'Euler

   7.2 La fonction u/ (z) d'Euler

   7.3 La fonction G/ (z) d'Euler

   7.4 Développements asymptotiques

   7.5 Méthode du col

   7.6 De l'importance des singularités apparement innocentes

   7.7 Un exercice de synthèse

   7.8 Transformations conformes

   7.9 Exercices et problèmes

8. Analyse de Fourier

   8.1 Séries de Fourier

   8.2 Transformation de Fourier

   8.3 Propriétés asymptotiques

   8.4 Généralisation en dimension quelconque

   8.5 Causalité et analycité

   8.6 Relations de Kramers-Kronig

   8.7 Exercices et problèmes

9. Transformation de Laplace

   9.1 Présentation

   9.2 Définition et formule d'inversion

   9.3 Propriétés de la transformation de Laplace

   9.4 Propriétés asymptotiques

   9.5 Quelques applications de la transformation de Laplace

   9.6 Exercices et problèmes

10. Introduction aux fonctions généralisées (distributions)

   10.1 Présentation intuitive

   10.2 Les distributions en tant que fonctionnelles linéaires

   10.3 Série de Fourier des distributions

   10.4 Transformées de Fourier des distributions

   10.5 Illustrations et exemples physiques

   10.6 Extensions

   10.7 Exercices et problèmes

11. Equations différentielles. Introduction aux fonctions de Green

   11.1 Pertinence des équations différentielles pour la modélisation avec des variables continues

   11.2 Généralités et définitions

   11.3 Classification des équations différentielles

   11.4 Importance des conditions auxiliaires

   11.5 Equations linéaires

   11.6 Equations non-linéaires

   11.7 Systèmes différentiels

   11.8 Equations différentielles et équations aux différences

   11.9 Fonctions de Green

   11.10 Exercices et problèmes

12. Equations aux dérivés partielles

   12.1 Introduction intuitive d'un champ continu et de son équation dynamique : la chaîne de boules et de ressorts

   12.2 Conditions auxiliaires pour une équation aux dérivées partielles. Classification

   12.3 Méthodes analytiques de résolution

   12.4 Equations linéaires du second ordre

   12.5 Equations non-linéaires

   12.6 Exercices et problèmes

13. Fonctions spéciales

   13.1 Polynômes orthogonaux

   13.2 Fonctions hypergéométriques

   13.3 Fonctions de Bessel

   13.4 Fonction Vx (z, q)

   13.5 Intégrales elliptiques

   13.6 Exercices et problèmes

14. Théorie des probabilités et applications

   14.1 Notion de variable aléatoire

   14.2 Notion de probabilité

   14.3 Axiomes. Premières conséquences

   14.4 Sur l'intégrale de Lebesgue

   14.5 Fonction de répartition

   14.6 Espérances mathématiques (moyennes)

   14.7 Lois de distribution courantes

   14.8 Fonction caractéristique

   14.9 Fonction d'une variable aléatoire

   14.10 Lois-limites. Théorème limite central

   14.11 Exercices et problèmes

15. Introduction à la théorie des groupes et à leurs représentations

   15.1 Qu'est-ce qu'un groupe?

   15.2 Applications entre deux groupes

   15.3 Représentations d'un groupe

   15.4 Conséquences de la symétrie sur la structure algébrique d'un système

   15.5 Projecteurs de symétrie

   15.6 Groupe symétrique Sn

   15.7 Groupe des rotations  

   15.8 Exercices et problèmes

16. Eléments de dynamique des systèmes non-linéaires

   16.1 Richesse et spécificités des systèmes non-linéaires

   16.2 Analyse de stabilité linéaire

   16.3 Portrait de phase

   16.4 Systèmes autonomes du premier ordre

   16.5 Exemples de systèmes à deux variables

   16.6 Variables discrètes. Applications récursives (itérations)

   16.7 Exercices et problèmes

Bibliographie

Index